DERIVADAS

RAZÓN DE CAMBIO Y PROMEDIO DE INTERPRETACIÓN GEOMETRICA 

La razón de cambio también conocida como taza de cambio, de variación o de transferencia de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, es la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h. Es decir, la medida en que una variable cambia con respecto a otra, como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con respecto al tiempo: lim(Dx/Dt, t tiende a cero).

INTERPRETACION GEOMETRICA
Geométricamente la derivada de una función f en un punto determinado se interpreta como el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.

x	y	m
-3	0	6
-2	5	4
-1	8	2
0	9	0
1	8	-2
2	5	-4
3	0	-6

   

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

Lapendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

m_t = f'(a)

Ejemplos

Dada f(x) = x², calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

DERIVACIÓN DE ECUACIONES

FORMULARIO DE DERIVADAS

Formulario-Derivadas

Derivadas de funciones

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Ejemplos

Determinar la función derivada de f(x) = x² − x + 1.

Con estas fórmulas y los ejemplos podrémos entender un poc mas las derivadas

Algunos videos que te darán la noción de como utilizar las fórmulas

REPASO

Introducción a las derivadas.
Derivada de un monomio.
Derivada de un polinomio.

Segunda parte de la introducción a las derivadas.
Derivada de un polinomio elevado a una potencia.

Calcular la función derivada de un producto de funciones

Función derivada de un cociente de funciones

Derivada de una función que contiene raíces

- Derivada de la raíz
- Otra forma de derivar radicales

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función logarítmica

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno. Por el profesor Fernando

LIMITES

Como ya habíamos dicho, una función es una sucesión de puntos que se dirigen de acuerdo a una regla que es la ecuación o regla que se nos da, podemos tomar encuentra cualquier valor del eje x y saber a que valor en el eje y se acerca la sucesión de puntos cuando se acerca al valor en x especificado

Ejemplo: Sea la función   Haciendo una pequeña tabla para graficar X Y -2 3 -1 -3 0 5 1 -3 2 3 ahora hallemos el límite de esta función cuando x tiende a 2, será: Es fácil ver en la grafica que tiende a -4, y si se remplaza x=1 en la función da –4, entonces: Este acercamiento se entiende como el valor más próximo y debemos hacer claridad que si bién en ocasiones resulta ser el valor de la función en el punto escogido no siempre pasa esto.   Ejemplo: Hallar Realizando una tabla y graficando queda: X Y -2 -0,33333 -1 -0,5 0 -1 1 e 2 1 Se observa en la gráfica que en x=1 no hay función por eso dibujamos la asintota como línea punteada. Si tratamos de encontrar un valor para x=1 nos encontraremos con una división por cero, y esto no es posible. Entonces veamos que en –1 se acerca al infinito por la derecha y al menos infinito por la izquierda. Entonces no hay límite por ser los dos valores diferentes.

CONTINUIDAD

FUNCIONES

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

TIPOS DE FUNCIONES

Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas

Función seno f(x) = sen x ,Función coseno f(x) = cos x ,Función tangente f(x) = tg x ,Función cosecante f(x) = cosec x ,Función secante f(x) = sec x ,Función cotangente f(x) = cotg x

FUNCIONES

Función inyectiva

Ejemplo de función inyectiva.
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:
Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B 

Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva.
En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Formalmente,

para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva

Teorema

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.
Ejemplo
La función es biyectiva.
Luego, su inversa también lo es.

                                                              Función sobreyectiva

Ejemplo de función sobreyectiva.
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

 DOMINIO Y CONTRADOMINIO

 

 

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que se pueden asignar a a la variables independiente de la función.

De forma que cada elemento n  del dominio le corresponde un único elemento del contradominio.